题目内容
（2013•房山区一模）对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号＜x＞表示．例＜1.2＞=0.2，＜-1.2＞=0.8，＜
＞=
．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=＜a＞，an+1=
，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a=
，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a＞
时，对任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
（Ⅲ）若a是有理数，设a=
（p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．
| 8 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
|
（Ⅰ）若a=
| 2 |
（Ⅱ）当a＞
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）若a是有理数，设a=
| p |
| q |
分析：（I）利用新定义，可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）分类讨论，利用n=a，即可求符合要求的实数a构成的集合A；
（Ⅲ）由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
（pn是非负整数，qn是正整数，且pn，qn互质），利用反证法可得结论．
（Ⅱ）分类讨论，利用n=a，即可求符合要求的实数a构成的集合A；
（Ⅲ）由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
| pn |
| qn |
解答：（Ⅰ）解：a1=?
＞=
-1，a2=?
＞=?
＞=?
+1＞=
-1…．（2分）
若ak=
-1，则ak+1=[
]=[
+1]=
-1
所以an=
-1…（3分）
（Ⅱ）解：∵a1=?a＞=a，a＞
所以
＜a＜1，从而1＜
＜4
①当
＜a＜1，即1＜
＜2时，a2=?
＞=?
＞=
-1=a
所以a2+a-1=0
解得：a=
，（a=
∉(
，1)，舍去） …．（4分）
②当
＜a≤
，即2≤
＜3时，a2=?
＞=?
＞=
-2=a，
所以a2+2a-1=0
解得a=
=
-1，（a=-
-1∉(
，
]，舍去） …（5分）
③当
＜a≤
时，即3≤
＜4时，a2=?
＞=?
＞=
-3=a
解得a=
（a=
∉(
，
]，舍去） …（6分）
综上，集合A={
，
-1，
}．…（7分）
（Ⅲ）证明：结论成立．…（8分）
由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，
可设an=
（pn是非负整数，qn是正整数，且pn，qn互质）
由a1=?
＞=
，可得0≤p1＜q； …（9分）
若pn≠0，设qn=αpn+β（0≤β＜pn，α，β是非负整数）
则
=α+
，而由an=
得
=
an+1=?
＞=?
＞=
，故pn+1=β，qn+1=pn，可得0≤pn+1＜pn …（11分）
若pn=0则pn+1=0，
若a1，a2，…，aq均不为0，则正整数pn（n=1，2，3，…，q）互不相同且都小于q，
但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．
故a1，a2，…，aq中至少有一个为0，即存在m（1＜m≤q），使得am=0．
从而数列{an）中am以及它之后的项均为0，
所以对于大于q的自然数n，都有an=0 …（13分）
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| a1 |
| 1 | ||
|
| 2 |
| 2 |
若ak=
| 2 |
| 1 |
| ak |
| 2 |
| 2 |
所以an=
| 2 |
（Ⅱ）解：∵a1=?a＞=a，a＞
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| a |
①当
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
所以a2+a-1=0
解得：a=
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②当
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
所以a2+2a-1=0
解得a=
-2+
| ||
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
③当
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
解得a=
-3+
| ||
| 2 |
-3-
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
综上，集合A={
-1+
| ||
| 2 |
| 2 |
-3+
| ||
| 2 |
（Ⅲ）证明：结论成立．…（8分）
由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，
可设an=
| pn |
| qn |
由a1=?
| p |
| q |
| p1 |
| q1 |
若pn≠0，设qn=αpn+β（0≤β＜pn，α，β是非负整数）
则
| qn |
| pn |
| β |
| pn |
| pn |
| qn |
| 1 |
| an |
| qn |
| pn |
an+1=?
| 1 |
| an |
| qn |
| pn |
| β |
| pn |
若pn=0则pn+1=0，
若a1，a2，…，aq均不为0，则正整数pn（n=1，2，3，…，q）互不相同且都小于q，
但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．
故a1，a2，…，aq中至少有一个为0，即存在m（1＜m≤q），使得am=0．
从而数列{an）中am以及它之后的项均为0，
所以对于大于q的自然数n，都有an=0 …（13分）
点评：本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
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