题目内容

（2013•杨浦区一模）对于实数a，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=|a，an+1=
||
1
an
 ||，an≠0
0，an=0
其中n=1，2，3，…
（1）若a=
2
，求数列{an}；
（2）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（3）若a是有理数，设a=
p
q
 （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．
分析：（1）由题设知a1=||
2
||=
2
-1，a2=||
1
a1
||=||
1
2
-1
||=||
2
+1||=
2
-1，由此能求出an=
2
-1．
（2）由a1=||a||=a，知
1
4
＜a＜1，1＜
1
a
＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．
（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
pn
qn
，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有an=0．
解答：解：（1）∵满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，
a1=
2
，an+1=
||
1
an
 ||，an≠0
0，an=0
其中n=1，2，3，…
∴a1=||
2
||=
2
-1，a2=||
1
a1
||=||
1
2
-1
||=||
2
+1||=
2
-1，…（2分）
ak=
2
-1，则ak+1=||
1
ak
||=||
2
+1||=
2
-1，
所以an=
2
-1．…（4分）
（2）∵a1=||a||=a，∴
1
4
＜a＜1，∴1＜
1
a
＜4，
①当
1
2
＜a＜1，即1＜
1
a
＜2时，a2=||
1
a1
||=||
1
a
||=
1
a
-1=a，
所以a2+a-1=0，
解得a=
-1+
5
2
，（a=
-1-
5
2
∉（
1
2
，1），舍去）．…（6分）
②当
1
3
＜a≤
1
2
，即2≤
1
a
＜3时，a2=||
1
a1
||=||
1
a
||=
1
a
-2=a，
所以a2+2a-1=0，
解得a=
-2+
8
2
=
2
-1，（a=-
2
-1∉（
1
3
，
1
2
]，舍去）．…（7分）
③当
1
4
＜a≤
1
3
，即3≤
1
a
＜4时，a2=||
1
a1
||=||
1
a
||=
1
a
-3=a，
所以a2+3a-1=0，
解得a=
-3+
13
2
（a=
-3-
13
2
∉(
1
4
，
1
3
]，舍去）．…（9分）
综上，{a=
-1+
5
2
，a=
2
-1，a=
-3+
13
2
}．…（10分）
（3）成立．…（11分）
证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，
可设an=
pn
qn
（pn是非负整数，qn是正整数，且
pn
qn
既约）．…（12分）
①由a1=||
p
q
||=
p1
q1
，得0≤p1≤q；…（13分）
②若pn≠0，设qn=apn+β（0≤βPn，α，β是非负整数）
则
qn
pn
=a+
β
pn
，而由an=
pn
qn
，得
1
an
=
qn
pn
，
an+1=||
1
an
||=||
qn
pn
||=
β
pn
，
故Pn+1=β，qn+1=Pn，得0≤Pn+1＜Pn．…（14分）
若Pn=0，则pn+1=0，…（15分）
若a1，a2，a3，…，aq均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，
但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．…（17分）
故a1，a2，a3，…，aq中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得am=0．
从而数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有an=0．…（18分）
（其它解法可参考给分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查集合的求法，考查an=0是否成立的判断与证明．综合性强，计算量大，难度较高，对数学思维能力的要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
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1
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1
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0
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2
2
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