Question

已知数列的首项其中，令集合.
（Ⅰ）若，写出集合中的所有的元素；
（Ⅱ）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；
（Ⅲ）求证：.

Answer 1

（Ⅰ）集合的所有元素为：4,5,6,2,3,1.
（Ⅱ）首项的所有可能取值的集合为{,}.
（Ⅲ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）将代入，依次写出集合的所有元素.
（Ⅱ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，关键是理解好“如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.”得到结论：该7项的等比数列的公比为.
（Ⅲ）分“被3除余1，被3除余2,，被3除余0”加以讨论，确定得到的关系为：，
从而利用
进一步得到，所以.数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
并对,,加以讨论，得到,.
此题较难，对考生逻辑思维能力要求较高
试题解析：（Ⅰ）集合的所有元素为：4,5,6,2,3,1..                3分
（Ⅱ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，
如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.
所以，该7项的等比数列的公比为.
又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），
设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得
因为，所以或.
由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2014的各项只有：
或,或,
所以首项的所有可能取值的集合为
{,}.                       8分
（Ⅲ）若被3除余1，则由已知可得,；
若被3除余2,则由已知可得,,；
若被3除余0，则由已知可得,；
所以，
所以
所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.
因为，所以.
所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若,结论得证.
若,则；若,则,
所以.                      13分