题目内容
【题目】定义：若存在常数
，使得对定义域D内的任意两个不同的实数
，均有：
成立，则称
在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；
（2）若函数
在
上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；
（3)现有函数
，请找出所有的一次函数
，使得下列条件同时成立：
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程
的根
也是方程
的根，且
；
③方程
在区间
上有且仅有一解．
【答案】（1）
，见解析；（2）
（3）
【解析】
（1）令可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足；
（2）根据定义化简
，得出k的最小值；
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设
是
的根，推得
，若
符合题意，则
也符合题意，可以只考虑
的情形，分①若
，②若
，分别验证是否满足题意，可得k的范围.
（1）例如令由
知可取满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）。
（2）
在
为增函数
对任意
有
（当
时取到）所以
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设是的根
，
又
若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形。
设
①若，则由
且
所以，在
中另有一根，矛盾。
②若，则由
所以，在
中另有一根，矛盾。
以下证明，对任意
符合题意。
当
时，由
图象在连接两点
的线段的上方知
当
时，
当
时，
综上：
有且仅有一个解
，
在
满足题意。
综上所述：,
故得解.
名校课堂系列答案
【题目】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附：
的观测值
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
