Question

【题目】已知函数，其中．

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）详情见解析；（2）．

【解析】

（1）对原函数求导，再分类讨论当与时导函数正负是x的取值范围，即原函数的单调区间；

（2）分类讨论实数a在区间左边，内部和右边三种情况，其中在且时，表示出函数的最大值发现此时不满足题设要求；当时，取特殊的，对，由此时的最大值发现此时不满足题设要求；当时，令，对任意的，总存在，使得，分析了单调性之后发现其等价于，从而构造不等式组求得答案.

（1）∵，，

当时，对，，

所以的单调递减区间为．

当时，令，得，

∵时，，时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

综上所述，时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）讨论：

①当且时，由（1）知，在上单调递减，则，

因为对任意的，总存在，使得，

所以对任意的，不存在，使得

②当时，由（1）知，在上是增函数，在上是减函数，

则

因为对，对，

所以对，不存在，使得

③当时，令，

由（1）知，在是增函数，进而知是减函数，

所以，，

，

因为对任意的，总存在，使得，

即，故有，即，

所以，解得，综上，的值为．