Question

4．已知数列{a_n}中，${a_1}=\frac{3}{4}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列$\{\frac{1}{{{a_n}-1}}\}$是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}+{a_n}=1（n∈{N^*}）$，S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的通项公式，结合等差数列的定义，转化求解证明数列是等差数列．然后求解通项公式．
（2）求出数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（1）证明：∵${a_1}=\frac{3}{4}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{{a_1}-1}}=-4，\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{1}{{\frac{1}{{2-{a_n}}}-1}}=\frac{{2-{a_n}}}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-1$，
即$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=-1$．
∴$\{\frac{1}{{{a_n}-1}}\}$是首项为-4，公差为-1的等差数列．
从而$\frac{1}{{{a_n}-1}}=-n-3⇒{a_n}=1-\frac{1}{n+3}$．
（2）∵${b_n}+{a_n}=1（n∈{N^*}）$，由（1）知${a_n}=1-\frac{1}{n+3}$．
∴${b_n}=\frac{1}{n+3}，{b_k}{b_{k+1}}=\frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+4}$（k=1，2，3，…）
∴${S_n}={b_1}{b_2}+{b_2}{b_3}+…+{b_n}{b_{n+1}}=（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{6}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$，
即${S_n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$．

点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和，递推关系式的应用，考查计算能力．