Question

已知椭圆=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?若存在,求出该最小距离是多少?

Answer 1

解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交.

设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0.                        ①

由方程组

消去y,得25x²+8kx+k²-225=0.                                                   ②

令方程②的根的判别式Δ=0,得

64k²-4×25(k²-225)=0.                                                         ③

解方程③得

k₁=25,或k₂=-25(不符合题意,舍去).

由图可知,当k=25时,直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为4x-5y+25=0.

直线m与直线l间的距离d=.

所以,所求最小距离是.