Question

已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：（x₀）＜0．（本题满分14分）

Answer 1

（1）若单调增加.
若，单调增加，在单调减少. 
（2）见解析。

解析试题分析：解：（1）…………………………………………1分
 …………………………2分
（i）若单调增加.…………………3分
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少. ……………………5分
（2）设函数则

…………………………………7分
当时，，所以单调递增，
故当，  ……………………………9分
（3）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得
从而
由（I）知，  …………………………………………………14分
考点：本题考查利用导数求函数的单调性、综合分析和解决问题的能力以及分类讨论的思想方法。
点评：解答本题易出现以下失误：①忘记求函数的定义域；②想不到分类讨论，从而在判断函数的单调性时出现错误。当求函数的单调性时，如果无法判断导函数的符号，自然而然的就应该想到分类讨论，为了避免错误的发生，在平常做题时就要养成分析思路的习惯。