Question

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理证明AC∥平面BEF．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE=90°，
所以DE⊥平面ABCD，（1分）
所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，（3分）
所以AC⊥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，
所以，OG∥DE，DE=

1

2

DE．（5分）
因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG且AF=OG，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO．（6分）
因为FG?平面BEF，AO?平面BEF，（7分）
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．（8分）

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．