Question

在平面直角坐标系xOy中，角α，β (0＜α＜

π

2

， 

π

2

＜β＜π)的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为

5

13

，

3

5

．
（Ⅰ）求tanβ的值；
（Ⅱ）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在单位圆中，根据B的纵坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinβ的值，进而求出cosβ的值，即可确定出tanβ的值；
（Ⅱ）在单位圆中，根据A的纵坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα的值，进而求出cosα的值，∠AOB=β-α，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（β-α），将各自的值代入求出sin∠AOB的值，再由|0A|与|OB|的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形AOB的面积．

解答：解：（I）∵在单位圆中，B点的纵坐标为

3

5

，
∴sinβ=

3

5

，
∵

π

2

＜β＜π，
∴cosβ=-

1-sin2β

=-

4

5

，
则tanβ=

sinβ

cosβ

=-

3

4

；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为

5

13

，∴sinα=

5

13

，
∵0＜α＜

π

2

，∴cosα=

1-sin2α

=

12

13

，
由（I）得sinβ=

3

5

，cosβ=-

4

5

，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=

56

65

，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|sin∠AOB=

28

65

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解本题的关键．