Question

已知

a

=（2sinx，m），

b

=（sinx+cosx，1），函数f（x）=

a

•

b

（x∈R），若f（x）的最大值为

2

．
（1）求m的值；
（2）若将f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后，关于y轴对称，求n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据用向量的数量积表示的函数式，写出函数的解析式，后面的问题变化为三角函数的变换，把式子整理成三角函数的标准形式y=Asin（ωx+φ）是形式，求出最值．
（2）根据上一问整理出的函数式，将函数的解析式写成平移后的解析式，根据此时的函数关于纵轴对称，得到函数是一个偶函数，要使的n取到最小值，从解析式上得到n的值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2sin²x+2sinxcosx+m
=1-cos2x+sin2x+m
=

2

sin（2x-

π

4

）+m+1
∵f（x）的最大值为

2

，而

2

sin（2x-

π

4

）最大值是

2

，m+1是常数
∴m+1=0，m=-1
（2）由（1）知，f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），将其图象向左平移n个单位，
对应函数为y=

2

sin[2（x+n）-

π

4

]
平移后函数图象关于y轴对称，则该函数为偶函数，表达式的一般形式是
y=

2

sin（2x+

π

2

+kπ）（k∈Z）
要使n取最小正数，则对应函数为y=

2

sin（2x+

π

2

），
此时n=

3π

8

点评：本题考查向量的数量积，考查三角函数的变换，考查函数图象的平移，考查偶函数，是一个以向量为载体的题目，这种问题通常出现在高考卷的第一个解答题目上．