Question

已知a=（2sinx，1），b=（sinx+cosx，-1），设f（x）=a•b．
（1）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；
（2）由y=f（x）的图象经过怎样的变换可得到y=

2

sinx(x∈R)的图象．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的数量积运算，再利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用f（x）≥1，结合正弦函数的图象，即可得到结论；
（2）先进行周期变换，再进行相位变换，可得到y=

2

sinx(x∈R)的图象．

解答：解：∵

a

=（2sinx，1），

b

=（sinx+cosx，-1），
∴f(x)=

a

•

b

=2sinx(sinx+cosx)-1=1-cos2x+sin2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)
（1）f（x）≥1，则

2

sin(2x-

π

4

)≥1，∴sin(2x-

π

4

)≥

2

2

，
∴2kπ+

π

4

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

4

∴kπ+

π

4

≤x≤kπ+

π

2

，∴x的取值集合为[kπ+

π

4

，kπ+

π

2

](k∈Z)
（2）y=f（x）的图象先横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移

π

4

个单位，即可得到y=

2

sinx(x∈R)的图象．

点评：本题考查向量的数量积运算，考查三角函数的化简，考查图象的变换，周期化简函数是关键．