题目内容
已知
=（2sinx，1），
=（m•cosx-sinx，+1），其中m＞0，若f（x）=
•
，且最大值
．
（1）求m值．
（2）当x．∈[0，
]时，求f（x）值域．
（3）直线3x-y+c=0是否可能和f（x）图象相切？叙述理由．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 2 |
（1）求m值．
（2）当x．∈[0，
| π |
| 2 |
（3）直线3x-y+c=0是否可能和f（x）图象相切？叙述理由．
分析：（1）利用向量数量积公式，结合函数f（x）的最大值为
，m＞0，即可求得结论；
（2）整体思维，求得2x+
∈[
，
]，利用正弦函数的性质，可得结论；
（3）求导数，求得斜率的范围，可得结论．
| 2 |
（2）整体思维，求得2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
（3）求导数，求得斜率的范围，可得结论．
解答：解：（1）∵
=（2sinx，1），
=（m•cosx-sinx，+1），
∴f（x）=
•
=msin2x-cos2x
∵函数f（x）的最大值为
，
∴
=
∴m=±1
∵m＞0，∴m=1；
（2）f(x)=
sin(2x+
)，当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]
∴sin(2x+
)∈[-
，1]
∴-1≤f(x)≤
，
∴函数f（x）的值域[-1，
]．
（3）3x-y+c=0不可能和f（x）图象相切．证明如下：
直线3x-y+c=0斜率k=3而f′(x)=2
cos(2x+
)≤2
即f′（x）=3无解，故3x-y+c=0不可能和f（x）图象相切．
| a |
| b |
∴f（x）=
| a |
| b |
∵函数f（x）的最大值为
| 2 |
∴
| m2+1 |
| 2 |
∴m=±1
∵m＞0，∴m=1；
（2）f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
∴sin(2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴-1≤f(x)≤
| 2 |
∴函数f（x）的值域[-1，
| 2 |
（3）3x-y+c=0不可能和f（x）图象相切．证明如下：
直线3x-y+c=0斜率k=3而f′(x)=2
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
即f′（x）=3无解，故3x-y+c=0不可能和f（x）图象相切．
点评：本题考查向量的数量积公式，考查函数的值域，考查导数的几何意义，属于中档题．
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