Question

3．已知过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F且斜率为$\frac{3}{4}$的直线与抛物线C在第一象限的交点为P，且|PF|=5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率不为0直线l交抛物线C于M，N两点，抛物线C的准线与x轴交于点K，点A与点N关于y轴对称，求证：K，A，M三点共线．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$cos∠AFP=\frac{3}{5}$，求得|PA|=3，根据抛物线的定义，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及直线的斜率求得k₁+k₂=0，则K，A，M三点共线．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），过P作PA⊥y轴于A，
∵直线PF的斜率为$\frac{3}{4}$，则$cos∠AFP=\frac{3}{5}$，
∵|PF|=5，则|PA|=3，则${y_0}=\frac{p}{2}+3$，
由抛物线的定义得$\frac{p}{2}+{y_0}=5$，得p=2
∴抛物线方程为x²=4y．
（2）证明：由（1）得F（0，1），K（0，-1），设直线l的方程为y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵k≠0，∴A与M不重合，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
设直线KM和KN的斜率分别为k₁，k₂，
∵${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{-8k+8k}{{{x_1}{x_2}}}=0$
∴直线KMG与KN关于y轴对称，
∴K，A，M三点共线．

点评 本题考查抛物线的标准方程及定义的应用，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．