Question

18．已知函数f（x）=1g（2+x）+lg（2一x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）记函数g（x）=10^f（x）+3x．求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据真数为正，列出不等式组求得定义域；
（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
（3）运用配方法求函数的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=1g（2+x）+lg（2-x）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解得x∈（-2，2），
函数的定义域为（-2，2）；
（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
且f（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=f（x），
所以，f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=1g（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²），
∴g（x）=$1{0}^{lg（4-x^2）}+3x$=4-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
由于x∈（-2，2），所以，
当x=$\frac{3}{2}$时，g（x）_max=$\frac{25}{4}$，
当x=-2时，g（x）_min=-6（不能取等），
所以，g（x）的值域为（-6，$\frac{25}{4}$]．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，奇偶性的判断，以及函数值域的求解，属于中档题．