题目内容
【题目】如图，组合体由半个圆锥
和一个三棱锥
构成，其中
是圆锥底面圆心，
是圆弧
上一点，满足
是锐角，
.
（1）在平面
内过点作
平面
交
于点
，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）在（1）中，若是中点，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）答案见解析；（2）
.
【解析】
（1）①延长
交
的延长线于点
；②连接
；③过点
作
交
于点
，可得点P.
（2）若是中点，则是
中点，又因为
，所以
，所以
，从而
.依题意，
两两垂直，分别以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系,运用空间向量线面角的求解方法可得解.
（1）①延长交的延长线于点；②连接；③过点作交于点.
（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，所以，从而.
依题意，两两垂直，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则
，
从而
，
设平面
的法向量为
，
则
即
取
，得
.
则
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
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