Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴的两个端点分别为、.短轴的两个端点分别为，.菱形的面积为，离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，经过点M作斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由已知条件得出关于方程组求解即可；

（2）方法一：先由已知得出中垂线过点，设出直线的方程，点坐标，联立直线方程和椭圆方程，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出点坐标关系，最后利用中点在中垂线上得到关系式求解即可.方法二：先设出直线的方程，点坐标，由已知向量关系式化简为坐标关系，利用点差法得出点坐标关系，然后把直线方程与椭圆方程联立得关于的一元二次方程，利用韦达定理即可得到等量关系，求解即可.

解：（1）∵，∴.

又因为菱形的面积为，即有，即，

所以，从而，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）由，知，设，由向量加法的意义，知是线段的中垂线，设直线的方程为，经过N且与垂直的直线为.

设，由消去，得，

于是有.

关于A，B关于直线对称，故点必在此直线上，

所以，即，所以或，

故所求的直线的方程为或，即或.

解法二：设，因为，所以

.

由题得，即

.①

因为A、B在椭圆C上，所以，所以.两式相减，得，② 因为的斜率不为0，所以，将②代①，得.③

因直线经过，设直线的方程为，

由消去，得，

于是有，代入③得，解得，或.

故所求直线的方程为或，即.或.