Question

2．已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）设g（x）=x²-2x，求证：对任意x∈（0，+∞），有f（x）≤g（x）；
（3）若方程f（x）+m=0在[$\frac{1}{e}$，e]内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=-3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．
（2）构造新函数，确定其单调性，求最大值，即可证明结论．
（3）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．

解答 （1）解：（1）∵f（x）=alnx-bx²，∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∴f′（2）=$\frac{a}{2}$-4b，f（2）=aln2-4b．
∵函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
∴$\frac{a}{2}$-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（2）证明：F（x）=f（x）-g（x）=2lnx-2x²+2x，∴F′（x）=$\frac{2}{x}$-4x+2=$\frac{-2（x-1）（2x+1）}{x}$
∴x∈（0，1），F（x）单调递增，（1，+∞），h（x）单调递减，
∴x=1，F（x）_max=0，
∴F（x）≤0，
∴对任意x∈（0，+∞），有f（x）≤g（x）；
（3）解：f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′（x）=$\frac{2}{x}$-2x，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
当x∈[$\frac{1}{e}$，1}时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．
则方程h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，e]内有两个不等实根的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{e}）≤0}\\{h（1）＞0}\\{h（e）≤0}\end{array}\right.$，
即1＜m≤$\frac{1}{{e}^{2}}$+2．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．