Question

7．数列{a_n}的前n项和S_n=n（2n-1）a_n，a₁=$\frac{1}{3}$，求数列通项及前n项和．

Answer 1

分析 当n≥2时得到a_n=S_n-S_n-1，整理得到$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-3}{2n+1}$，然后利用累积法求数列的通项公式，再用裂项相消法求数列的前n项和．

解答 解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）a_n-（n-1）（2n-3）a_n-1，得
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-3}{2n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{n-1}}=\frac{1}{5}×\frac{3}{7}×\frac{5}{9}×…×\frac{2n-5}{2n-1}×\frac{2n-3}{2n+1}$，又a₁=$\frac{1}{3}$，
得${a}_{n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；
∴${S}_{n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．