Question

设双曲线的左准线与它的两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以线段AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围是

（1，

2

）

．

Answer 1

分析：求出渐近线方程及准线方程，求得交点A，B的坐标，再利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出不等式，即可求出离心率的范围．

解答：解：设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=±

b

a

x，左准线方程为x=-

a2

c

∵双曲线的左准线与它的两条渐近线交于A，B两点，∴A（-

a2

c

，

ab

c

），B（-

a2

c

，-

ab

c

）
∵左焦点为在以AB为直径的圆内，
∴-

a2

c

+c＜

ab

c

，
∴b＜a
∴c²＜2a²
∴1＜e＜

2

故答案为：（1，

2

）

点评：本题考查双曲线的准线、渐近线方程，考查点圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．