Question

4．求关于x的函数y=（a+sinx）（a+cosx）（a＞0）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 把给出的函数解析式展开，令t=sinx+cosx换元，得到y=g（t）=$\frac{1}{2}$[（t+a）²+a²-1]，它的图象的对称轴方程为t=-a≤0，利用二次函数的性质分类讨论求得y=g（t）的最值．

解答 解：f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则sinxcoax=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=g（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+at+a²=$\frac{1}{2}$[（t+a）²+a²-1]，且函数y的对称轴方程为t=-a＜0．
①当-a＞-$\sqrt{2}$，即a＜$\sqrt{2}$时，y在[-$\sqrt{2}$ a]上为减函数，在（a，$\sqrt{2}$]上为增函数，y_min=g（-a）=$\frac{{a}^{2}-1}{2}$；
y_max=g（$\sqrt{2}$）=a²+$\sqrt{2}$a+$\frac{1}{2}$．
②当-a≤-$\sqrt{2}$，即a≥$\sqrt{2}$时，y在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上为增函数，y_min=g（-$\sqrt{2}$）=a²-$\sqrt{2}$a+$\frac{1}{2}$；
y_max=g（$\sqrt{2}$）=a²+$\sqrt{2}$a+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了与三角函数有关的函数最值的求法，考查了换元法，训练了利用分类讨论的方法求二次函数的最值，是中档题．