题目内容

11.在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,AA′⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC且AD=AA′=2BC.过A′,C,D三点的平面与BB′交于点E,F,G分别为CC′,A′D′的中点(如图所示)给出以下判断:
①E为BB′的中点;
②直线A′E和直线FG是异面直线;
③直线FG∥平面A′CD;
④若AD⊥CD,则平面ABF⊥平面A′CD;
⑤几何体EBC-A′AD是棱台.
其中正确的结论是①③④⑤.(将正确的结论的序号全填上)

分析 利用四棱柱的性质,结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答.

解答 解:对于①,∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,
∴平面EBC∥平面A1D1DA,
∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行,∴EC∥A1D
∴△EBC∽△A1AD,
∴$\frac{BE}{B{B}_{1}}=\frac{BE}{A{A}_{1}}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴E为BB1的中点;
故①正确;
对于②,因为E,F都是棱的中点,所以EF∥B'C',又B'C'∥A'D',
所以EF∥A'D',所以A'E,FG都在平面EFD'A'中;故②错误;
对于③,由②可得EF∥A'G,EF=A'G,所以四边形A'EFG是平行四边形,所以FG∥A'E,又A'E?平面A'CD中,FG?平面A'CD,所以直线FG∥平面A′CD正确;
对于④,连接AD',容易得到BF∥AD',所以ABFD'四点共面,因为AD⊥CD,AD'在底面的射影为AD,所以CD⊥AD',又AD'⊥BF,所以BF⊥CD,又BF⊥CE,所以BF⊥平面A'CD,
BF?平面ABFD',所以平面ABF⊥平面A′CD;故④正确;
对于⑤,由④得到,AB与D'F,DC交于一点,所以几何体EBC-A′AD是棱台.故⑤正确;
故答案为:①③④⑤.

点评 本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断,比较综合.

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