Question

14．一个随机变量ξ的概率分布律如下：

ξ	x1	x2
P	cos2A	sin（B+C）

其中A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角．
（1）求A的值；
（2）若x₁=cosB，x₂=sinC，求数学期望Eξ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过概率和为1，利用三角形的内角和化简求解即可．
（2）利用（1）的结果求出B+C，表示出$sin（C-\frac{π}{6}）$的范围，然后求解期望的范围．

解答 解：（1）由题cos2A+sin（B+C）=1，…2’
则1-2sin²A+sinA=1$⇒sinA=\frac{1}{2}（{sinA=0舍}）$…4’
又A为锐角，得$A=\frac{π}{6}$…6’
（2）由$A=\frac{π}{6}$
得$B+C=\frac{5π}{6}$，则$cos2A=sin（{B+C}）=\frac{1}{2}$，即$P（{ξ={x_1}}）=P（{ξ={x_2}}）=\frac{1}{2}$…8’
$⇒Eξ=\frac{1}{2}cosB+\frac{1}{2}sinC$…9’
=$\frac{1}{2}cos（{\frac{5π}{6}-C}）+\frac{1}{2}sinC=\frac{3}{4}sinC-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cosC$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（{C-\frac{π}{6}}）$，…11’
由△ABC为锐角三角形，得$\left\{{\begin{array}{l}{C∈（{0，\frac{π}{2}}）}\\{B=\frac{5π}{6}-C∈（{0，\frac{π}{2}}）}\end{array}}\right.⇒C∈（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）⇒C-\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}）$
则$sin（{C-\frac{π}{6}}）∈（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
得$Eξ∈（{\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{3}{4}}）$…14’

点评 本题考查概率的应用，期望的求法，概率与三角函数相结合，题目新颖，是好题．