Question

1．已知函数f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定义域，观察是否关于原点对称，再求出f（-x）观察与f（x）的关系即可判断．
（2）将不等式f（x）＞0转化为log₂（1+x）＞log₂（1-x），然后利用函数单调性列出不等式组即可解出答案．

解答 解：（1）f（x）是奇函数．证明如下：
由f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）由意义得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1．
∴f（x）的定义域关于原点对称．
∵f（-x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=-f（x），
∴f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）是奇函数．
（2）∵f（x）＞0，
∴log₂（1+x）＞log₂（1-x），
∴1+x＞1-x，解得x＞0．
又∵-1＜x＜1，
∴0＜x＜1．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，对数函数单调性的应用．注意定义域的范围，是基础题．