Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}+1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$
（1）作出函数f（x）的大致图象；
（2）讨论方程f（x）=a的根的情况；
（3）若方程f（x）=$\frac{-1}{x+2}+a$有两个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作出f（x）的图象，当x≤0时，y=-2^-x+1=-（$\frac{1}{2}$）^x+1，可由y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象作关于x轴的对称图象，再向上平移一个单位得到，
（2）根据函数f（x）的图象和y=a的图象，即可得到根的情况．
（3）分别作出y=f（x）和y=$\frac{-1}{x+2}+a$的图象，由图象可知a的范围．

解答 解：（1）其图象为：

（2）由图象可知，
当-1＜a≤0时，方程f（x）=a有无数个根，
当a≤-1时，方程f（x）=a有1个根，
当a＞0时，方程f（x）=a无实数根．
（3）方程f（x）=$\frac{-1}{x+2}+a$有两个实根，
分别作出y=f（x）和y=$\frac{-1}{x+2}+a$的图象，如图所示：

当y=$\frac{-1}{x+2}+a$通过点（0，0）时，有两个交点，即a=$\frac{1}{2}$，
当y=$\frac{-1}{x+2}+a$通过点（1，0）时，有三个交点，即a=$\frac{1}{3}$，
综上所述：实数a的取值范围[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力．