Question

7．某小型玩具加工厂每天固定投入为250元，每生产x件玩具需要另投入成本为L（x）元．当天产量不足80件时，L（x）=$\frac{1}{3}{x^2}$+10x；当天产量不小于80件时，L（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450．假设每件商品销售价为50元，且能够当天售完．
（1）写出每天的利润P关于每天产量x的表达式；
（2）怎么安排生产计划，才能使当天的利润P最大？

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为l（x）=$\frac{1}{3}$x²+10x，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为l（x）=51x+$\frac{10000}{x}$-1450，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

解答 解：（1）∵每件商品售价为50元，
∴x件商品销售额为50x元，
①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本，
∴P（x）=50x-$\frac{1}{3}$x²-10x-250=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250；
②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本，
∴P（x）=50x-51x-$\frac{10000}{x}$+1450-250=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）．
综合①②可得，P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{2}+40x-250，0＜x＜80}\\{1200-（x+\frac{10000}{x}），x≥80}\end{array}\right.$；
（2）①当0＜x＜80时，L（x）=-$\frac{1}{3}$x²+40x-250=-$\frac{1}{3}$（x-60）²+950，
∴当x=60时，P（x）取得最大值P（60）=950元；
②当x≥80时，P（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-2$\sqrt{x•\frac{10000}{x}}$=1200-200=1000，
当且仅当x=$\frac{10000}{x}$，即x=100时，P（x）取得最大值P（100）=1000元．
综合①②，由于950＜1000，
∴年产量为100件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

点评 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．