Question

（2012•许昌县一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：

AM

=2

AB

，

PA

•

AM

=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

AM

=2

AB

，可得坐标之间的关系，利用

PA

•

AM

=0，即可求得C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程与y=2x²联立，利用韦达定理，结合

OQ

⊥

OR

，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则

AM

=（x-a，y），

AB

=（-a，b），

PA

=（a，1）
∵

AM

=2

AB

，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b
∵

PA

•

AM

=0，∴有a（x-a）+y=0
∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0
即C的方程是y=2x²；
（Ⅱ）设Q（m，2m²），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=-

1

4m

∴直线l的方程为y-2m²=-

1

4m

（x-m）
与y=2x²联立，消去y可得2x²+

1

4m

x-2m²-

1

4

=0，该方程必有两根m与x_R，且mx_R=-m²-

1

8

∴（2m²）y_R=4（-m²-

1

8

）²
∵

OQ

⊥

OR

，∴mx_R+（2m²）y_R=0，∴-m²-

1

8

+4（-m²-

1

8

）²=0，∴m=±

2

4

∴直线l的方程为y=±

2

2

x+

1

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用向量知识是关键．