Question

一袋子中装着标有数字1，2，3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球的数字之和．
求：（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布及数学期望E（ξ）（其中E（ξ）=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n）．

Answer 1

分析：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为A，由古典概型公式结合组合数性质能够得到P(A)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

．由此能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率．
（2）由题意ξ可能的取值为4，5，6，7，8，P（ξ=4）=

C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

10

，P（ξ=5）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=6)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

，P（ξ=7）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=8）=

C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

10

．由此能求出随机变量ξ的概率分布和期望．

解答：解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为A，…（1分）
则P(A)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

．   …（3分）
所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为

2

3

． …（4分）
（2）由题意ξ可能的取值为4，5，6，7，8，…（5分）
P（ξ=4）=

C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

10

，…（6分）
P（ξ=5）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，…（7分）
P(ξ=6)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 3 6

=

2

5

，…（8分）
P（ξ=7）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，…（9分）
P（ξ=8）=

C 1 2 C 2 2

C 3 6

=

1

10

．…（10分）
所以随机变量ξ的概率分布为

ξ	4	5	6	7	8
P	1 10	1 5	2 5	1 5	1 10

…（12分）
E(ξ)=4×

1

10

+5×

1

5

+6×

2

5

+7×

1

5

+8×

1

10

=6．…（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要注意古典概型的灵活运用，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用统筹思想解决概率的计算问题．