Question

20．若正实数a，b，c满足3a²+10ab-8b²=c²，且a＞b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k的最大值为2．

Answer 1

分析 3a²+10ab-8b²=（3a-2b）（a+4b）=c²，设3a-2b=tc，则a+4b=$\frac{1}{t}$c，t＞0，不等式5a+6b≥kc恒成立转化为k≤t+$\frac{1}{t}$，利用基本不等式即可求出k的最大值．

解答 解：∵3a²+10ab-8b²=（3a-2b）（a+4b）=c²，
设3a-2b=tc，则a+4b=$\frac{1}{t}$c，t＞0，
则5a+6b=（3a-2b）+2（a+4b）=tc+$\frac{1}{t}$c≥kc，
∵c＞0，
∴k≤t+$\frac{1}{t}$，
∵t+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$=2，当且仅当t=1时取等号，
∴k≤2，
∴实数k的最大值2，
故答案为：2．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是换元的思想，属于中档题．