Question

若关于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由关于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．

解答：解：∵不等式等价于（-a+4）x²-4x+1＜0，
当a≥4时，显然不满足要求，
故4-a＞0且△=4a＞0，
故0＜a＜4，
不等式的解集为

1

2+ a

＜x＜

1

2- a

，

1

4

＜

1

2+ a

＜

1

2

则一定有1，2，3为所求的整数解集．
所以3＜

1

2- a

≤4，
解得a的范围为(

25

9

，

49

16

]
故答案：(

25

9

，

49

16

]

点评：本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4-a＞0且△=4a＞0，是解答本题的关键．