Question

设a＞0当-1≤x≤1时，函数y=-x²-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a，b的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=-x²-ax+b+1的对称轴是x=-

a

2

＜0，所以讨论-

a

2

和-1的关系，从而求出函数y在[-1，1]上的用a，b表示的最大值和最小值，根据已知的最大值0，最小值-4，即可建立关于a，b的方程组，解方程组即得a，b的值．

解答： 解：y=-x2-ax+b+1=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b+1；
（1）若-

a

2

≤-1，即a≥2时，函数y在[-1，1]上单调递减；
∴该函数的最小值是b-a=-4；最大值是a+b=0，两式联立即得a=2，b=-2；
（2）若-1＜-

a

2

＜0，即0＜a＜2时，x=-

a

2

时，函数y取最大值

a2

4

+b+1=0   ①；
又f（-1）=a+b，f（1）=-a+b，f（1）＜f（-1），∴函数y的最小值是-a+b=-4   ②；
①②两式联立解得a=2，b=-2，不符合0＜a＜2，∴这种情况不存在；
综上得a=2，b=-2．

点评：考查二次函数最值的求法，讨论对称轴在求最值的区间内和区间外．