Question

已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．

(1)如图所示，若，求直线l的方程；

(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）长轴长的最小值为.

【解析】

试题分析：（1）首先求得抛物线方程为 .

设直线方程为，并设

利用，得到 ；

联立，可得，应用韦达定理得到 ，

从而得到，求得直线方程.

（2）可求得对称点，

代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,

椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，

由，可得 ，即得解.

（1）由题知抛物线方程为 。 2分

设直线方程为，并设

因为，所以.

联立，可得，有 4分

解得：，所以直线方程为： 6分

（2）可求得对称点， 8分

代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,

设椭圆方程为，联立直线方程和椭圆方程并消元整理得， 10分

因为椭圆与直线有交点，所以，

即：，解得 12分

即

∴长轴长的最小值为.. 13分

考点：抛物线及其标准方程，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系.