Question

已知向量(1，0)， (0，1)，规定A，其中∈R、m∈N*，且A．函数在处取得极值，在处的切线平行于向量．

(1)求的解析式；

(2)求的单调区间；

(3)是否存在正整数，使得方程在区间(m，m+1)内有且只有两个不等实根?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)由已知，

，∴，

解得，∴．

(2)∵

由得，或，即在(1，+∞)和(一∞，)上单调递增．

    由得，，即在(，1)上单调递减．

    (3)方程等价于

    令．

    则，令得或．

    当时，，∴是单调减函数，

    当时，，∴是单调增函数．

    ∵

∴方程在区间(1，)，(，2)内分别有唯一实根

  ∴存在正整数使得方程在区间(1，2)上有且只有两个不相等的实数根．