Question

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，证明：++…++…+＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）_max＜0，求出最大值，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）先证明，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：求导函数，可得（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜，由f′（x）＞0可得x＞，
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（）；
（Ⅱ）解：lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）_max＜0
由上知，a≤0时，不成立；
a＞0时，，∴；
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1时，
∴lnx-x＜-1
∴lnx＜x-1
令，则，∴，∴
∴，∴
∴++…++…+＞+…+=
当n→+∞时，→．
∴++…++…+＞．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．