Question

（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，证明：当x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为P．证明：P＜(

9

10

)19＜

1

e2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用导数证明函数f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

在定义域上为增函数，即证明f′（x）≥0在（-1，+∞）恒成立，再考虑当x=0时，f（x）=0，故当x＞0时，f（x）＞0
（Ⅱ）先计算概率P=

A 100 20

10020

，再证明

A 100 20

10020

=

100×99×…×81

10020

＜(

9

10

)19=

100

90

(

90

100

)20，即证明99×98×…×81＜（90）¹⁹，最后证明(

9

10

)19＜e^-2，即证(

10

9

)19＞e²，即证19ln

10

9

＞2，即证ln

10

9

＞

2

19

，而这个结论由（1）所得结论可得

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

1+x

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(1+x)(x+2)

≥0，（x＞-1），（仅当x=0时f′（x）=0）
故函数f（x）在（-1，+∞）单调递增．当x=0时，f（x）=0，故当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=

A 20 100

10020

，要证P＜（

9

10

）¹⁹＜

1

e2

．
先证：P=

A 20 100

10020

＜(

9

10

)19 即证

100×99×…×81

10020

＜

100

90

(

90

100

)20
即证99×98×…×81＜（90）¹⁹而99×81=（90+9）×（90-9）=90²-9²＜90²
98×82=（90+8）×（90-8）=90²-8²＜90²…
91×89=（90+1）×（90-1）=90²-1²＜90²
∴99×98×…×81＜（90）¹⁹
即P＜(

9

10

)19
再证：(

9

10

)19＜e^-2，即证(

10

9

)19＞e²，即证19ln

10

9

＞2，即证ln

10

9

＞

2

19

由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）-

2x

x+2

，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=

1

9

，则ln（1+

1

9

）-

2- 1 9

1 9 +2

=ln（1+

1

9

）-

2

19

＞0，即ln

10

9

＞

2

19

综上有：P＜(

9

10

)19＜e^-2

点评：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．