Question

如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

(1) 证明：PA⊥BD；

(2) 若PD＝AD，求二面角A­PB­C的余弦值．

Answer 1

 (1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.

从而BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

(2)  解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线

DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，则

A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，

则即因此可取n＝(，1，)．

设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)，

则cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A­PB­C的余弦值为－.