Question

【题目】如图，已知椭圆 的离心率为，且过点．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设点，是椭圆上异于顶点的任意两点，直线，的斜率分别为，且．

①求的值；

②设点关于轴的对称点为，试求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（I）；（II）①8；②或．

【解析】

(Ⅰ) 根据条件列方程组解得， ，即得结果，(Ⅱ) ①先根据直线方程与椭圆方程解得，同理可得，再根据化简求值，②先用A,B坐标表示直线的斜率，再根据得，利用①结论以及椭圆方程解得，最后代入得结果.

（1）由题意，所以，即，

所以椭圆的方程为，

又因为椭圆过点，所以，即，．

所以所求椭圆的标准方程为．

（2）①设直线的方程为，化简得，

解得，

因为，故，

同理可得 ，

所以 ．

②由题意，点关于轴的对称点为的坐标为，

又点是椭圆上异于顶点的任意两点，

所以，

故 ，即．

设直线的斜率为，则，

因为，即，故，

所以 ，

所以直线的斜率为为常数，即或．