Question

已知函数。
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若对任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 
∴当、时，在区间、上单调递减.
当时，在区间上单调递增.         ………3分
（Ⅱ）由，得．
∵，且等号不能同时取得，∴，
∵对任意，使得恒成立，
∴对恒成立，即．()
令，求导得，，     ………5分
∵，
∴在上为增函数，，．           ………7分
（Ⅲ）由条件，，
假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧.
不妨设，则．
∴， …（※），
是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有解．………9分
①    若时，，化简得，对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；                   ………11分
②    若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；
若a>0时，有…（▲），
设，则，
显然， 当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，
当时，不等式（▲）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q.
………13分
综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上.                               ………14分

略