Question

设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S_n，若a₁a₅=64，S₅-S₃=48．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a_k，a_m，a_l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，且集合M={n|

bn

an

≥λ，n∈N*}中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和等比数列的性质先求出a₃，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；
（2）由充要条件的定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和a_n进行证明；
（3）由（1）化简a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6后，两边同乘以2再作差求出b_n，注意验证n=1是否成立代入

bn

an

，利用作差判断数列{

bn

an

}的单调性，再求出符合条件的λ的范围．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，
∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，∴a1a5=a32=64，解得a₃=8，
又∵S₅-S₃=48，∴a4+a5=8q2+8q=48，解得q=2，
∴an=8•2n-3=2n；    …4分
（2）（ⅰ）必要性：设5a_k，a_m，a_l这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若2•5a_k=a_m+a_l，则10•2^k=2^m+2^l，∴10=2^m-k+2^l-k，∴5=2^m-k-1+2^l-k-1，
∴

2m-k-1=1 2l-k-1=4

，∴

m=k+1 l=k+3

．…6分
②若2a_m=5a_k+a_l，则2•2^m=5•2^k+2^l，∴2^m+1-k-2^l-k=5，左边为偶数，等式不成立，
③若2a_l=5a_k+a_m，同理也不成立，
综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分
（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，
则5a_k，a_m，a_l这三项为5a_k，a_k+1，a_k+3，即5a_k，2a_k，8a_k，
调整顺序后易知2a_k，5a_k，8a_k成等差数列，
所以充分性也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分
（3）因为a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3•2n+1-4n-6，
即21bn+22bn-1+23bn-2+…+2nb1=3•2n+1-4n-6，①
∴当n≥2时，21bn-1+22bn-2+23bn-3+…+2n-1b1=3•2n-4n-2，②
则②式两边同乘以2，得22bn-1+23bn-2+24bn-3+…+2nb1=3•2n+1-8n-4，③
∴①-③，得2b_n=4n-2，即b_n=2n-1（n≥2），
又当n=1时，2b1=3•22-10=2，即b₁=1，适合b_n=2n-1（n≥2），
∴b_n=2n-1．…14分
∴

bn

an

=

2n-1

2n

，∴

bn

an

-

bn-1

an-1

=

2n-1

2n

-

2n-3

2n-1

=

5-2n

2n

，
∴n=2时，

bn

an

-

bn-1

an-1

＞0，即

b2

a2

＞

b1

a1

；
∴n≥3时，

bn

an

-

bn-1

an-1

＜0，此时{

bn

an

}单调递减，
又

b1

a1

=

1

2

，

b2

a2

=

3

4

，

b3

a3

=

5

8

，

b4

a4

=

7

16

，∴

7

16

＜λ≤

1

2

．…16分

点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，作差法判断数列的单调性，考查分类讨论思想的运用，计算化简、变形能力与逻辑推理能力，属于难题．