Question

已知向量

a

=（mx²，-1），

b

=（

1

mx-1

，x）（m是常数），且f（x）=

1

a • b

．
（1）若f（x）是奇函数，求m的值；
（2）设函数g（x）=f（

x

2

）-

x

2

，讨论当实数m变化时，函数g（x）零点的个数．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（1）首先把给出的两个向量的坐标代入函数解析式，化简后运用奇函数的定义即可求解使函数f（x）为奇函数的实数m的值；
（2）g（x）=f（

x

2

）-

x

2

=m-

2

x

-

x

2

=

-x2+2mx-4

2x

，令h（x）=-x²+2mx-4，利用判别式判断二次函数零点的情况，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意知

a

•

b

=

mx2

mx-1

-x=

x

mx-1

，
所以f（x）=

1

a • b

=

mx-1

x

=m-

1

x

．
由题知对任意的不为零的实数x，都有f（-x）=-f（x），
即m+

1

x

=-m+

1

x

成立，所以m=0．
（2）g（x）=f（

x

2

）-

x

2

=m-

2

x

-

x

2

=

-x2+2mx-4

2x

，
令h（x）=-x²+2mx-4，∴△=4m²-16，则有△＞0得，m＜-4或m＞4时，h（x）有两个零点，
由△=0得，m=±4时，h（x）有一个零点，
由△＜0得，-4＜m＜4时，h（x）没有零点，
∴m＜-4或m＞4时，g（x）有两个零点，m=±4时，g（x）有一个零点，-4＜m＜4时，g（x）没有零点，

点评：本题考查了平面向量数量积的坐标表示，模、夹角，考查了函数的奇偶性，考查了分类讨论的数学思想及数学转化思想，解答此题的关键是正确写出两个向量的数量积．