题目内容

14.已知函数f(x)的定义域为0,1],且f(x)的图象连续不间断.若函数f(x)满足:对于给定的m (m∈R且0<m<1),存在x0∈[0,1-m],使得f(x0)=f(x0+m),则称f(x)具有性质P(m).
(1)已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-4x+1,0≤x≤\frac{1}{4}}\\{4x-1,\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4}}\\{-4x+5,\frac{3}{4}≤x≤1}\end{array}\right.$,若f(x)具有性质P(m),求m最大值;
(2)若函数f(x)满足f(0)=f(1),求证:对任意k∈N*且k≥2,函数f(x)具有性质P($\frac{1}{k}$).

分析 (1)m的最大值为$\frac{1}{2}$.分类进行证明,当m=$\frac{1}{2}$时,函数f(x)具有性质P($\frac{1}{2}$);假设存在$\frac{1}{2}$<m<1,使得函数f(x)具有性质P(m),则0<1-m<$\frac{1}{2}$,证明不存在x0∈(0,1-m],使得f(x0)=f(x0+m)即可;
(2)任取k∈N*且k≥2,设g(x)=f(x+$\frac{1}{k}$)-f(x),其中x∈[0,$\frac{k-1}{k}$],利用叠加法可得g(0)+g($\frac{1}{k}$)+…+g($\frac{t}{k}$)+…+g($\frac{k-1}{k}$)=f(1)-f(0)=0,分类讨论:当g(0)、g($\frac{1}{k}$)、…、g($\frac{k-1}{k}$)中有一个为0时,函数f(x)具有性质P($\frac{1}{k}$);当g(0)、g($\frac{1}{k}$)、…、g($\frac{k-1}{k}$)均不为0时,由于其和为0,则必然存在正数和负数,进而可证函数f(x)具有性质P($\frac{1}{k}$).

解答 解:(1)m的最大值为$\frac{1}{2}$.
首先当m=$\frac{1}{2}$时,取x0=$\frac{1}{2}$,则f(x0)=f($\frac{1}{2}$)=1,f(x0+m)=f($\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$)=f(1)=1
所以函数f(x)具有性质P($\frac{1}{2}$)                               (3分)
假设存在$\frac{1}{2}$<m<1,使得函数f(x)具有性质P(m),则0<1-m<$\frac{1}{2}$.
当x0=0时,x0+m∈$(\frac{1}{2},1)$,f(x0)=1,f(x0+m)>1,f(x0)≠f(x0+m);
当x0∈(0,1-m]时,x0+m∈($\frac{1}{2}$,1],f(x0)<1,f(x0+m)≥1,f(x0)≠f(x0+m);
所以不存在x0∈(0,1-m],使得f(x0)=f(x0+m),
所以,m的最大值为$\frac{1}{2}$.                                        …(7分)
(2)证明:任取k∈N*且k≥2
设g(x)=f(x+$\frac{1}{k}$)-f(x),其中x∈[0,$\frac{k-1}{k}$],则有g(0)=f($\frac{1}{k}$)-f(0)
g($\frac{1}{k}$)=f($\frac{2}{k}$)-f($\frac{1}{k}$)
…
g($\frac{t}{k}$)=f($\frac{t}{k}+\frac{1}{k}$)-f($\frac{t}{k}$)
…
g($\frac{k-1}{k}$)=f(1)-f($\frac{k-1}{k}$)
以上各式相加得:g(0)+g($\frac{1}{k}$)+…+g($\frac{t}{k}$)+…+g($\frac{k-1}{k}$)=f(1)-f(0)=0
当g(0)、g($\frac{1}{k}$)、…、g($\frac{k-1}{k}$)中有一个为0时,不妨设为g($\frac{i}{k}$)=0,i∈{0,1,…,k-1},
即g($\frac{i}{k}$)=f($\frac{i}{k}$+$\frac{1}{k}$)-f($\frac{i}{k}$)=0,则函数f(x)具有性质P($\frac{1}{k}$);
当g(0)、g($\frac{1}{k}$)、…、g($\frac{k-1}{k}$)均不为0时,由于其和为0,则必然存在正数和负数,
不妨设g($\frac{i}{k}$)>0,g($\frac{j}{k}$)<0,其中i≠j,i,j∈{0,1,…,k-1},
由于g(x)是连续的,所以当j>i时,至少存在一个${x}_{0}∈(\frac{i}{k},\frac{j}{k})$(当j<i时,至少存在一个${x}_{0}∈(\frac{i}{k},\frac{j}{k})$)
使得g(x0)=0,
即g(x0)=f(${x}_{0}+\frac{1}{k}$)-f(x0)=0
所以,函数f(x)具有性质P($\frac{1}{k}$)                     …(12分)

点评 本题考查新定义,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,难度较大.

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