Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，

∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．

Answer 1

解：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∵∴PC⊥AC．      2分

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P（0，0，z），则．

．

∵，

且z＞0，∴，得z=1，∴．

设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由

得得     ∴．

平面ABC的一个法向量为．

．

显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．    8分

（3）点B到平面MAC的距离．           12分