Question

1．已知各项均不为0的数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n，有4S_n=（2n+1）a_n+1．
（1）求a₁的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）对一切正整数n，设b_n=$\frac{（-1）^{n}4n}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当n≥2时，化简可得（2n-3）a_n=（2n-1）a_n-1，从而可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，从而利用累乘法求通项公式；
（2）化简b_n=$\frac{（-1）^{n}4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），从而可得当n为奇数时，b_n+b_n+1=$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n-1}$，从而分类讨论求和．

解答 解：（1）当n=1时，4S₁=3a₁+1，
解得，a₁=1；
当n≥2时，4S_n=（2n+1）a_n+1，4S_n-1=（2n-1）a_n-1+1，
两式作差整理可得，
（2n-3）a_n=（2n-1）a_n-1，
故$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，
故a₁=1，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，
…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，
累乘可得，a_n=2n-1；
综上所述，a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{（-1）^{n}4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
故当n为奇数时，
b_n+b_n+1=-（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）+（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n-1}$，
S_n=S_n+1-b_n+1
=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n+b_n+1）-（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{5}$-1+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$
=$\frac{1}{2n+3}$-1-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$=-$\frac{2n+2}{2n+1}$．
当n为偶数时，
S_n=S_n-1+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$
=-1-$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$
=-1+$\frac{1}{2n+1}$=-$\frac{2n}{2n+1}$；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2n+2}{2n+1}，n为奇数}\\{-\frac{2n}{2n+1}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了累乘法与裂项求和法的应用，属于中档题．