Question

椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，a²+b²=5，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，再由根与系数的关系求解．
解答：解：（Ⅰ）由已知，a²+b²=5，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，
联立，，消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0，
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得．
设E，F两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）当∠EOF为直角时，
则，
因为∠EOF为直角，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以，解得．
（ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，
此时，k_OE•k=-1，所以，即x₁²=4y₁-y₁²①，
又；②，
将①代入②，消去x₁得3y₁²+4y₁-4=0，
解得或y₁=-2（舍去），
将代入①，得，
所以，
经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．
点评：本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答．