Question

如图所示，在四棱锥中，底面为矩
形，⊥平面，,为上的点，若⊥平面

（1）求证：为的中点；
（2）求二面角的大小．

Answer 1

（1）由PD⊥平面MAB，平面MAB，则PD⊥MA，同时PA=AD，进而得到证明。
（2）120°

试题分析：解：（1）由PD⊥平面MAB，平面MAB，则PD⊥MA   2分
又PA=AD，则△APM≌△AMD，因而PM=DM，即M为PD的中点；   5分
（2）以A原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1)，
由（1）知=(0，－1，1)为平面MAB的法向量，            7分
设平面MBC的法向量=(x，y，z)，=(1，1，－1)，= (0，2，0)，=0， =0，即，令x=z=1，则=(1，0，1)，   10分
，                11分
而二面角A—BM—C为钝角，因而其大小为120°．       12分
点评：解决的关键是利用空间向量结合向量的数量积来表示角的大小，属于基础题。