Question

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。
如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.

Answer 1

以D为原点，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）.   
（Ⅰ）设由得到，进一步得到平面；（Ⅱ）二面角的余弦值为.

试题分析：以D为原点，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）.    3分

（Ⅰ）证明：设则有所以，，∴平面；   6分
（Ⅱ）解：
设为平面的法向量，

于是   8分
同理可以求得平面的一个法向量，   10分

∴二面角的余弦值为.    12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。在空间垂直关系明确的情况下，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量可简化证明过程。本题难度不大。