Question

已知函数f(x)＝x|x－a|(a∈R)． (1) 判断f(x)的奇偶性 (2) 解关于x的不等式：f(x)≥2a2 (3) 写出f(x)的单调区间．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：函数f(x)的定义域是R，当a＝0时，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 当a≠0时，∵f(a)＝0，f(－a)＝－2a|a|， ∴f(－a)≠f(a)且f(－a)≠－f(a)， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)	解：∵x|x－a|≥2a2， ∴原不等式等价于　　　　①或　　　　② 由①得，无解； 由②得，即， (1)当a＝0时，x≥0； (2)当a＞0时，由，得x≥2a． (3)当a＜0时，由，得x≥－a． 综上，当a≥0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a}；当a＜0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥－a}
(3)	解：f(x)＝x|x－a|＝． (1)a＝0时，如图1，函数f(x)在R上为单调递增函数，(－∞，＋∞)为单调递增区间； (2)a＞0时，如图2，函数f(x)的单调递增区间为[a，＋∞和－∞，]，单调递减为[，a]； (3)a＜0时，如图2，函数f(x)的单调递增区间为[，＋∞和－∞，a]，单调递减为[a，]．