Question

已知A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义可知|AF₁|+|AF₂|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程．
（2）先假设出直线AV的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．

解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，所以a=2，
即椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1所以b²=

4

3

，椭圆方程为：

x2

4

+

3y2

4

=1
（2）由题意知，AC的倾斜角不为90⁰，故设AC方程为y=k（x-1）十1，
联立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

消去y，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．
∵点A（1，1）、C在椭圆上，∴x_C=

3k2-6k-1

3k2+1

∵AC、AD直线倾斜角互补，∴AD的方程为y=-k（x-l）+1，
同理x_D=

3k2+6k-1

3k2+1

又y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
∴y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k．
∴

yc-yd

xc-xd

=

1

3

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是高考的重点问题，每年必考，且常以压轴题的形式出现，一定要强化复习．