Question

6．己知a（3-a）＞0，那么$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$的最小值是$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由题意变形已知式子可得原式=$\frac{1}{3}$[a+（3-a）]（$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3-a}{a}$+$\frac{9a}{3-a}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a（3-a）＞0，∴$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$
=$\frac{1}{3}$[a+（3-a）]（$\frac{1}{a}$$+\frac{9}{3-a}$）
=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{3-a}{a}$+$\frac{9a}{3-a}$）
≥$\frac{1}{3}$（10+2$\sqrt{\frac{3-a}{a}•\frac{9a}{3-a}}$）=$\frac{16}{3}$
当且仅当$\frac{3-a}{a}$=$\frac{9a}{3-a}$即a=$\frac{3}{4}$时取等号，
∴原式的最小值为$\frac{16}{3}$，
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．