题目内容
1．设|$\overline{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=$\frac{π}{6}$，求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$为边的平行四边形的面积．分析 由向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overline{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=4×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，分别求得$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$的模和数量积，再由平行四边形的面积S=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|•sin＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$＞，计算即可得到所求值．
解答 解：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overline{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=4×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
即有|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{16+4×6\sqrt{3}+4×9}$=$\sqrt{52+24\sqrt{3}}$，
|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+9{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{16-6×6\sqrt{3}+9×9}$=$\sqrt{97-36\sqrt{3}}$，
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$2-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-6$\overrightarrow{b}$2=16-6$\sqrt{3}$-6×9=-38-6$\sqrt{3}$，
即有$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$为边的平行四边形的面积为
S=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|•sin＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$＞=$\sqrt{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}{|}^{2}•|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}{|}^{2}-（（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}））^{2}}$
=$\sqrt{（52+24\sqrt{3}）（97-36\sqrt{3}）-（-38-6\sqrt{3}）^{2}}$=30．
点评 本题考查平行四边形的面积的求法，注意运用向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
